Tổng Riemann một bằng phẳng trên đoạn [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , với khoảng chia lớn nhất gần bằng không (đó là giới hạn của khoảng chia bình thường), một số hàm số sẽ có các tổng Riemann giống nhau. Giá trị giới hạn này, nếu nó tồn tại, được định nghĩa là tích phân Riemann xác định của hàm số trên tập xác định,

∫ a b f ( x ) d x = lim ‖ Δ x ‖ → 0 ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) Δ x i . {\displaystyle \int _{a}^{b}\!f(x)\,dx=\lim _{\|\Delta x\|\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}.}

Trong trường hợp tập xác định hữu hạn, nếu giá trị lớn nhất của khoảng chia tiến tới không, điều này nhấn mạnh số lượng phần tử chia tiến tới vô cực. Với khoảng chia hữu hạn, tổng Riemann luôn luôn là phép tính gần đúng tới giá trị giới hạn và phép tính gần đúng này sẽ chính xác hơn nếu nó có khoảng chia nhỏ hơn nữa. Đồ thị hoạt hóa sau đây giúp minh họa số lượng của khoảng chia tăng thì diện tích được ước tính chính xác hơn như thế nào dưới đường cong (trong khi giảm dần độ dài khoảng chia):

• Tổng trái
• Tổng phải
• Tổng giữa

Bởi vì hàm số của đường màu đỏ ở đây được cho rằng là một hàm số trơn, nên tất cả những tổng Riemann sẽ cho ra giá trị giống nhau cũng như số lượng khoảng chia tiến tới vô cực.